Задачи, неразрешимые циркулем и линейкой

Задача удвоения куба с помощью циркуля и линейки может быть решена лишь приближенно. Приведем один из самых простых способов приближенного решения этой задачи.

Пусть АВ=ВС=а, причем АВ^ВС. Строим AD=АС, тогда CD с точностью до 1%. В самом деле, CD 1,2586…. В тоже время =1,2599….

Задача о квадратуре круга.

Обоснование неразрешимости задачи с помощью циркуля и линейки.

Задача о квадратуре круга состоит в следующем: построить квадрат равновеликий кругу.

Пусть - радиус данного круга, -длина стороны искомого квадрата. Тогда , отсюда .

Следовательно, задача о квадратуре круга будет решена, если мы построим отрезок длиной . Если радиус данного круга принять за единичный отрезок (=1), то дело сведется к построению по единичному отрезку отрезка длиной .

Как известно, зная единичный отрезок, мы можем циркулем и линейкой строить только такие отрезки, длины которых выражаются через рациональные числа с помощью конечного множества рациональных операций и извлечением квадратных корней и, значит являются числами алгебраическими. При этом будут использованы далеко не все алгебраические числа. Например, нельзя построить отрезок длиной и т.д.

В 1882 г. Линдеманн доказал, что - трансцендентное. Отсюда следует, что циркулем и линейкой нельзя построить отрезок длиной и, следовательно, этими средствами задача о квадратуре круга неразрешима.

Приближенное решение задачи с помощью циркуля и линейки.

Рассмотрим один из приемов приближенного построения отрезков длиной . Этот прием состоит в следующем. Четверть окружности АВ с центром в точке О и радиусом, равным единице, делим пополам точкой С. На продолжении диаметра CD откладываем отрезок DE, равный радиусу. Из точки Е проводим лучи ЕА и ЕВ до пересечения с касательной в точке С. отсекаемый отрезок АВ приближенно равен длине дуги АВ, а удвоенный - полуокружности.

Нетрудно подсчитать это приближение. Пусть в треугольнике АСЕ Е=, тогда АС=3tg. В треугольнике АОЕ по теореме синусов имеем 2sin=sin (45-) и следовательно, tg=. Таким образом, 4АС=12tg =123,1344465…

Материалы о воспитании и обучении:

Диагностика межличностных отношений в детском коллективе, направленное на выявление лидеров и изучение их личностных качеств
Исследовательская часть курсовой работы проводилась на базе Детского дома творчества в г. Нижняя Тавда, директор – Легоставеа И.А. Исследование проводилось среди подростков 13-15 летнего возраста. Основные задачи эксперимента: 1. Выявить лидера детского коллектива, проявляющегося в практической дея ...

Индивидуальный стиль, педагогическое мастерство и педагогический такт учителя
По глубокому убеждению А.С. Макаренко, овладение педагогическим мастерством доступно каждому педагогу при условии целенаправленной работы над собой. Оно формируется на основе практического опыта. Но не любой опыт становится источником профессионального мастерства. Таким источником является только п ...

Понятие «документ». Основные функции, признаки, свойства
Для того, чтобы определить, является ли план урока документом, мы должны выяснить, что же такое документ и какими отличительными чертами он обладает. Сам термин «документ» (documentum) латинского происхождения, производный от слова «docere» - учить, извещать. На разных этапах истории в разных страх ...