Задачи, неразрешимые циркулем и линейкой

Задача удвоения куба с помощью циркуля и линейки может быть решена лишь приближенно. Приведем один из самых простых способов приближенного решения этой задачи.

Пусть АВ=ВС=а, причем АВ^ВС. Строим AD=АС, тогда CD с точностью до 1%. В самом деле, CD 1,2586…. В тоже время =1,2599….

Задача о квадратуре круга.

Обоснование неразрешимости задачи с помощью циркуля и линейки.

Задача о квадратуре круга состоит в следующем: построить квадрат равновеликий кругу.

Пусть - радиус данного круга, -длина стороны искомого квадрата. Тогда , отсюда .

Следовательно, задача о квадратуре круга будет решена, если мы построим отрезок длиной . Если радиус данного круга принять за единичный отрезок (=1), то дело сведется к построению по единичному отрезку отрезка длиной .

Как известно, зная единичный отрезок, мы можем циркулем и линейкой строить только такие отрезки, длины которых выражаются через рациональные числа с помощью конечного множества рациональных операций и извлечением квадратных корней и, значит являются числами алгебраическими. При этом будут использованы далеко не все алгебраические числа. Например, нельзя построить отрезок длиной и т.д.

В 1882 г. Линдеманн доказал, что - трансцендентное. Отсюда следует, что циркулем и линейкой нельзя построить отрезок длиной и, следовательно, этими средствами задача о квадратуре круга неразрешима.

Приближенное решение задачи с помощью циркуля и линейки.

Рассмотрим один из приемов приближенного построения отрезков длиной . Этот прием состоит в следующем. Четверть окружности АВ с центром в точке О и радиусом, равным единице, делим пополам точкой С. На продолжении диаметра CD откладываем отрезок DE, равный радиусу. Из точки Е проводим лучи ЕА и ЕВ до пересечения с касательной в точке С. отсекаемый отрезок АВ приближенно равен длине дуги АВ, а удвоенный - полуокружности.

Нетрудно подсчитать это приближение. Пусть в треугольнике АСЕ Е=, тогда АС=3tg. В треугольнике АОЕ по теореме синусов имеем 2sin=sin (45-) и следовательно, tg=. Таким образом, 4АС=12tg =123,1344465…

Материалы о воспитании и обучении:

Дифференцированные упражнения по математике как средство формирования приёма сравнения
Одна из задач, которая заложена в Государственном стандарте начального образования – ориентация системы образования на детскую личность, её развитие. Личностно-развивающая направленность образования невозможна без дифференциации обучения. Основное назначение дифференцированных заданий в том, чтобы, ...

Понятие личности в психологической литературе
В психологической науке категория «личность» относится к числу базовых понятий. Но понятие «личность» не является сугубо психологическим и изучается всеми общественными науками, в том числе философией, социологией, педагогикой и другими. В чём же состоит специфика изучения личности в рамках психоло ...

Развитие идеи формирования познавательных способностей в педагогической науке
Проблема познавательной способности учащихся является одной из важнейших направлений теории и практики педагогической науки и не только этой науки. Она издавна привлекала внимание философов, психологов, педагогов, начиная от Сократа и до наших дней. В педагогической практике, наблюдая за деятельнос ...