Решение задач на построение методом подобия

4. Исследование. Так как сумма любых двух углов треугольника <180°, то условие +y<180° является необходимым условием для данного построения оно и достаточно. Затем указанным выше способом строится искомый DАВС. Такой треугольник единственный, ибо любой другой с такими же данными будет иметь периметр Р и следовательно, будет подобен построенному с коэффициентом подобия равным 1, а два подобных треугольника с одним коэффициентом равны.

Задача. Дан ÐАОВ и точка М, расположенная во внутренней области этого угла. Построить окружность g, проходящую через точку А касающуюся сторон угла АОВ.

Решение.

1. Анализ. Пусть ÐАОВ - данный и точка М, расположена во внутренней области угла (рис.41).

Рис.41.

Проведем еще одну окружность g, касающуюся сторон ÐАОВ. Обозначим, М - точку пересечения окружности g с прямой ОМ и рассмотрим DОМN и ОМN (N и Nцентры окружности g и g).

Эти треугольники подобны по двум углам, поэтому построение искомой окружность можно провести следующим образом:

2. Построение. Так как центр искомой окружности лежит на биссектрисе ÐАОВ, то проводим биссектрису угла. Далее, возьмем здесь же точку N и построим окружность g с центром N, касающуюся ÐАОВ. Затем проводим прямую СМ и обозначим через М - точку пересечения прямой с окружностью (таких точек две - М и М - берем одну из них). Проводим прямую МN и ÷ïей прямую через точку М. Тогда N - пересечение прямой с биссектрисой угла и есть центр искомой окружности, а ее радиус равен МN. Проведем ее.

3. Доказательство. По построению окружность g подобна g, О - центр подобия. Это следует из подобия треугольников ОМN и ОМN, поэтому раз окружность g касается сторон угла, то и окружность g будет касаться сторон угла.

4. Исследование. Задача имеет два решения, т.к. ОМ пересекается с окружностью g в двух точках М и М, каждой из которых будет соответствовать своя окружность, проходящая через точку М и касающаяся сторон ÐАОВ.

Дидактической целью этапа, совершенствующего умение решать задачи типа рассмотренных, является перенос сформированного умения на более сложные задачи, в частности на следующие ситуации: искомая фигура занимает определенное положение по отношению к данным точкам или линиям, при этом устранение одного из условий задачи приводит к системе подобных или гомотетичных фигур. Приведем пример такой задачи.

Задача. В данный треугольник впишите квадрат так, чтобы две его вершины лежали на одной стороне треугольника, а две другие - на двух других сторонах.

Задачи, соответствующие целям этого этапа, исключены из числа задач обязательного уровня. Поэтому они предлагаются только хорошо успевающим школьникам. Главное внимание на этом этапе уделяется индивидуально-поисковой деятельности учащихся.

Факультативные занятия по теме "Геометрические построения циркулем и линейкой"

Учителям, работающим в 7 классе, можно предложить рассмотреть на факультативных занятиях следующие темы: "Геометрическое место точек", "Метод геометрических мест", "Построение отрезков, заданных алгебраическим способом", "Задачи, неразрешимые циркулем и линейкой".

Материалы о воспитании и обучении:

Электронные учебники
Электронный учебник – это автоматизированная обучающая система, включающая в себя дидактические, методические и информационно–справочные материалы по учебной дисциплине, а также программное обеспечение, которое позволяет комплексно использовать их для самостоятельного получения и контроля знаний. Э ...

Коллективное творческое дело как технология воспитания
Аббревиатура КТД (коллективное творческое дело) знакома практически всем людям, близким к педагогике. Обычно этот феномен — коллективное творческое дело — рассматривают в контексте педагогики общей заботы (коммунарской педагогики), где КТД — жесткая организационная форма, основанная на определенной ...

Психолого-педагогический аспект изучения темы "Геометрические построения циркулем и линейкой"
Подростковый возраст - остро протекающий период от детства к взрослости (13-16 лет), в котором выпукло переплетаются противоречивые тенденции. С одной стороны, для этого сложного периода показательны негативные проявления, дисгармоничность в строении личности, свертывание прежде установившейся сист ...