Решение задач на построение с использованием свойств движений

Тема "Движение", представленная в учебниках по геометрии для основной школы, содержит немного задач на применение преобразований фигур. Однако по данной теме можно найти интересные геометрические задачи. Они могут быть разнообразны и по уровню сложности, и по учебному материалу, необходимому для решения. Это разнообразие можно с успехом использовать в ходе повторения темы "Движение". Опишем один урок повторения. Он начинается с того, что учащиеся повторяют определения и построения, относящиеся к центральной симметрии, осевой симметрии, повороту, параллельному переносу. Для этого предлагаются следующие задания; которые выполняются у доски:

Построить отрезок, симметричный относительно прямой; точки.

Выполнить параллельный перенос треугольника на заданный вектор.

Построить прямую, которая получается из заданной прямой поворотом вокруг точки О на угол 80º по часовой стрелке.

После повторения теоретической части предлагаются задачи на построение, которые предлагается решать учащимися у доски.

Задача. Построить параллелограмм по двум противоположным вершинам, лежащим на сторонах данного четырехугольника, причем остальные вершины параллелограмма также должны принадлежать сторонам данного четырехугольника.

Решение.

1. Анализ.

Пусть искомый параллелограмм построен. На рис.30, а - это параллелограмм АВСD, который вписан в данный четырехугольник LMNK, точки В и D - данные.

Рис.30.

Проанализируем, что можно предпринять, чтобы стала видна возможность построения. Пока видно только одно: можно провести диагонали. Проводим диагонали BD и СА (рис.30, б) и тут же замечаем, что точка О их пересечения является центром симметрии параллелограмма. А это значит, что она лежит на пересечении отрезка ML с образом отрезка KN при симметрии относительно точки О. Таким образом, мы нашли способ построения третьей вершины искомого параллелограмма. А четвертую его вершину можно найти, исходя из свойств этой фигуры.

2. Построение. Проведем отрезок BD и разделим его пополам точкой О.

Строим точки K и N, симметричные относительно О точкам K и N соответственно.

Обозначим через А точку пересечения отрезков ML и KN. Строим точку С, симметричную относительно О точке А. Искомая фигура - АВСD (рис.31).

3. Доказательство. Точки А и С, В и D - симметричны относительно точки О по построению. А это значит, что диагонали BD и АС четырехугольника АВСD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда следует (по определению), что построенный четырехугольник - параллелограмм.

4. Исследование. Успех построения зависит от возможности найти точку А.

Рис.31

Если прямые KN и LM пересекаются, то пересекаются и прямые KN, LM. Тогда задача имеет единственное решение. Это значит, что данный четырехугольник не должен быть ни параллелограммом, ни трапецией с основаниями KN и ML.

Есть и еще одно ограничение. Стороны KN и ML должны быть такими, чтобы пересекались отрезки KN и ML. Иначе пересечение прямых ML и KN вне отрезка ML привело бы к видоизменению задачи.

Материалы о воспитании и обучении:

Использование метода проектов в старших классах
Приёмы организации проектной деятельности остаются прежними. Но, по сравнению с базовым курсом, для учителя и учащихся появляются дополнительные возможности использования метода проектов. А именно: большинство учащихся уже имеют навыки работы на ПК; изучение предметов становится более целенаправлен ...

Теоретические основы современных технологий в образовании
Идея непрерывного образования может быть реализована в современных условиях, если и общеобразовательная, и высшая школы смогут эффективно решить задачи по передаче накопленного опыта молодому поколению: обучить методам работы с информацией, методам создания новых знаний, а самое важное — методам по ...

Игровые технологии как вид педагогических технологий
Игровые технологии являются составной частью педагогических технологий. Согласно классификации Г.К.Селевко, педагогические технологии по преобладающему (доминирующему) методу различаются на: Игровые Догматические, репродуктивные Объяснительно-иллюстративные Развивающее обучение Проблемные, поисковы ...