Характеристика понятия неравенства. Неравенства с одной переменной

Страница 2

В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности.

Определение. Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если их множества решений равны.

Например, неравенства 2х + 7 > 10 и 2х > 3 равносильны, так как их множества решений равны и представляют собой промежуток ( ⅔, ∞).

Теоремы о равносильности неравенств и следствия из них аналогичны соответствующим теоремам о равносильности уравнений. При их доказательстве используются свойства истинных числовых неравенств.

Теорема 1. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве X и h(х) - выражение, определенное на том же множестве. Тогда неравенства f (х) > g(х) и f (х) + h(х) > g(х) + h(х) равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекают следствия, которые часто используются при решении неравенств:

1) Если к обеим частям неравенства f (х) > g(х) прибавить одно и то же число d, то получим неравенство f (х) + d > g(х) + d, равносильное исходному.

2) Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Теорема 2. Пусть неравенство f (х) > g(х) задано на множестве X и h(х) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х из множества X выражение h(х) принимает положительные значения. Тогда неравенства

f (х) > g(х) и f (х) ∙ h(x) > g(х) ∙ h(х) равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f (х) > g(х) умножить на одно и то же положительное число d, то получим неравенство

f (х) ∙ d > g(х) ∙ d , равносильное данному.

Теорема 3. Пусть неравенство f (х) > g(х) задано на множестве X и h(х) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х их множества X выражение h(х) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства

f (х) > g(х) и g(х) и f (х) ∙ h(x) < g(х) ∙ h(х) равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f (х) > g(х) умножить на одно и то же отрицательное число d и знак неравенства поменять на противоположный, то получим неравенство f (х) ∙d < g(х) ∙d , равносильное данному. Решим неравенство 5х – 5 < 2х – 16, х R, и обоснуем все преобразования, которые мы будем выполнять в процессе решения.

Ход решения

Используемые теоретические положения

Перенесем выражение 2x в левую часть, а число –5 в правую:

5x – 2x < 16 + 5

Приведем подобные члены в левой и правой частях неравенства:

3x < 21.

Разделим обе части неравенства на 3:

x < 7.

Воспользовались следствием 2 из теоремы 1, получили неравенства, равносильное исходному.

Выполнили тождественные преобразования выражений в левой и правой частях неравенства, они не нарушили равносильности неравенств.

Воспользовались следствием из теоремы 2, получили неравенства, равносильное исходному.

Решением неравенства x < 7 является промежуток (– ∞, 7). Таким образом, множеством решений неравенства 5x – 5 < 2x +16 является множество чисел

(– ∞, 7) ( рис. 1).

Страницы: 1 2 3

Материалы о воспитании и обучении:

Решение задач на построение методом подобия
При решении многих задач на построение применяется метод подобия, суть которого заключается в следующем: сначала строится фигура подобная данной, затем эта фигура увеличивается (уменьшается) в нужном отношении (т.е. строится подобная фигура), удовлетворяющая условию задачи. Процесс обучения примене ...

Сущность процесса памяти
Память - процессы запоминания, сохранения и последующего воспроизведения индивидом его опыта. Л.Д. Столяренко трактует память как форму психического отражения, заключающуюся в закреплении, сохранении и последующем воспроизведении прошлого опыта, делающую возможным его повторное использование в деят ...

Развитие личности одаренного ребенка и его проблемы
Целый ряд психологических исследований и социальных наблюдений показывают, что одаренные дети в целом более благополучны, чем другие дети: не испытывают проблем в обучении, лучше общаются со сверстниками, быстрее адаптируются к новой обстановке. Их укоренившиеся интересы и склонности, развитые уже ...

Мотивация в процессе обучения

Мотивация в процессе обучения

В организации современного учебного процесса большую роль играет мотивация студентов. Мотивация студентов является одной из самых сложных педагогических проблем настоящего.

Навигация

Copyright © 2020 www.lavill.ru