Характеристика понятия неравенства. Неравенства с одной переменной

Страница 2

В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности.

Определение. Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если их множества решений равны.

Например, неравенства 2х + 7 > 10 и 2х > 3 равносильны, так как их множества решений равны и представляют собой промежуток ( ⅔, ∞).

Теоремы о равносильности неравенств и следствия из них аналогичны соответствующим теоремам о равносильности уравнений. При их доказательстве используются свойства истинных числовых неравенств.

Теорема 1. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве X и h(х) - выражение, определенное на том же множестве. Тогда неравенства f (х) > g(х) и f (х) + h(х) > g(х) + h(х) равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекают следствия, которые часто используются при решении неравенств:

1) Если к обеим частям неравенства f (х) > g(х) прибавить одно и то же число d, то получим неравенство f (х) + d > g(х) + d, равносильное исходному.

2) Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Теорема 2. Пусть неравенство f (х) > g(х) задано на множестве X и h(х) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х из множества X выражение h(х) принимает положительные значения. Тогда неравенства

f (х) > g(х) и f (х) ∙ h(x) > g(х) ∙ h(х) равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f (х) > g(х) умножить на одно и то же положительное число d, то получим неравенство

f (х) ∙ d > g(х) ∙ d , равносильное данному.

Теорема 3. Пусть неравенство f (х) > g(х) задано на множестве X и h(х) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х их множества X выражение h(х) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства

f (х) > g(х) и g(х) и f (х) ∙ h(x) < g(х) ∙ h(х) равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f (х) > g(х) умножить на одно и то же отрицательное число d и знак неравенства поменять на противоположный, то получим неравенство f (х) ∙d < g(х) ∙d , равносильное данному. Решим неравенство 5х – 5 < 2х – 16, х R, и обоснуем все преобразования, которые мы будем выполнять в процессе решения.

Ход решения

Используемые теоретические положения

Перенесем выражение 2x в левую часть, а число –5 в правую:

5x – 2x < 16 + 5

Приведем подобные члены в левой и правой частях неравенства:

3x < 21.

Разделим обе части неравенства на 3:

x < 7.

Воспользовались следствием 2 из теоремы 1, получили неравенства, равносильное исходному.

Выполнили тождественные преобразования выражений в левой и правой частях неравенства, они не нарушили равносильности неравенств.

Воспользовались следствием из теоремы 2, получили неравенства, равносильное исходному.

Решением неравенства x < 7 является промежуток (– ∞, 7). Таким образом, множеством решений неравенства 5x – 5 < 2x +16 является множество чисел

(– ∞, 7) ( рис. 1).

Страницы: 1 2 3

Материалы о воспитании и обучении:

Построение отрезков, заданных алгебраическим способом
Можно рассмотреть случаи построения отрезков, определенных следующими формулами: , где , где - натуральные числа; (построение четвёртого пропорционального к трём данным); ; ; где . Учитель предлагает учащимся методику построения данных отрезков, а учащиеся должны доказать, что построенный отрезок - ...

Анализ проблем в семьях, воспитывающих детей с патологией слуха
Трудности, которые постоянно испытывает семья с проблемным ребенком, значительно отличаются от повседневных забот, которыми живет семья, воспитывающая нормально развивающегося ребенка. Анализ литературы по вопросам семьи позволяет выделить основные функции, наиболее часто приписываемые обычной семь ...

Фрагменты использования проектных технологий на уроках информатики
Работа над методом проектов предполагает следующие этапы: I этап - методологический: выбор и осмысление предмета исследования формулирование темы проекта формулирование проблемных вопросов осмысление и первичное формулирование целей и задач проекта II этап - содержательный: поиск и подбор материал ...

Мотивация в процессе обучения

Мотивация в процессе обучения

В организации современного учебного процесса большую роль играет мотивация студентов. Мотивация студентов является одной из самых сложных педагогических проблем настоящего.

Навигация

Copyright © 2022 www.lavill.ru