Характеристика понятия неравенства. Неравенства с одной переменной

Пусть а и b – два числовых выражения. Соединим их знаком ">" (или <). Получим предложение a > b (или a < b), которое называют числовым неравенством.

Например, если соединить выражение 6 + 2 и 13-7 знаком «>», то получим истинное числовое неравенство 6 + 2 > 13 - 7. Если соединить те же выражения знаком «<», получим ложное числовое неравенство 6 + 2 < 13 - 7. Таким образом, с логической точки зрения числовое неравенство - это высказывание, истинное или ложное.

Знаки неравенства (<, >) появились в начале XVII столетия, ввел их английский математик Гариот. И хотя знаки >, < появились не так давно, сами понятия неравенства возникли в глубокой древности.

Неравенства, которые записываются с помощью знаков > и <, называются строгими неравенствами, а неравенства, в записи которых участвуют знаки и , - нестрогими.

Нестрогое неравенство эквивалентно строгому неравенству того же знака и равенству.

Различают два вида неравенств: арифметические (или числовые), в записи которых участвуют только числа, и неарифметические, в записи которых наряду с числами участвуют функции одной или нескольких переменных.

Например, числовыми неравенствами будут2 > 1, 7.

Неарифметическими неравенствами, например, будут неравенства а < 1, х2 + у2 R2

Функции, входящие в неравенства, могут принимать различные числовые значения в зависимости от различных значений своих аргументов. При одних значениях аргументов неравенство может обратиться в верное числовое неравенство, при других - нет.

Числовые неравенства обладают рядом свойств. Рассмотрим некоторые.

1. Если к обеим частям истинного числового неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое неравенство.

2. Если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и положительное значение, то получим также истинное числовое неравенство.

3. Если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и отрицательное значение, а также поменяем знак неравенства на противоположный, то получим также истинное числовое неравенство.

Предложения 2х + 7 > 10 – х, x2 + 7х < 2, (х + 2)(2х – 3) > 0 называют неравенствами с одной переменной.

В общем виде это понятие определяют так:

Определение. Пусть f(x) и g(х) - два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда неравенство вида f(x) > g(х) или f(x) < g(х) называется неравенством с одной переменной. Множество X называется областью определения.

Значение переменной х из множества X, при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением. Решить неравенство - это значит найти множество его решений.

Так, решением неравенства 2х + 7 > 10 – х, хR является число х = 5, так как 2∙5 + 7 > 10 – 5 – истинное числовое неравенство. А множество его решений - это промежуток (1,∞), который находят, выполняя преобразование неравенства: 2х + 7 > 10 – х => Зх > 3 => х > 1.

Материалы о воспитании и обучении:

«Скоростной барьер»: причины возникновении и способы его устранения
После достижения определенных успехов в развитии скоростных способностей дальнейшее улучшение результатов может и не проявиться, несмотря на систематичность занятий. Методика воспитания быстроты внутренне противоречива. С одной стороны, чтобы повысить скорость в каком-либо движении, его надо многок ...

Развитие идеи формирования познавательных способностей в педагогической науке
Проблема познавательной способности учащихся является одной из важнейших направлений теории и практики педагогической науки и не только этой науки. Она издавна привлекала внимание философов, психологов, педагогов, начиная от Сократа и до наших дней. В педагогической практике, наблюдая за деятельнос ...

Спицы
Спицы являются основным инструментом для ручного вязания. Они бывают стальные, алюминиевые, пластмассовые, на леске или с гбким тросом не меняют своей формы. Эти качества стальных спиц являются незаменимыми, потому что даже малейшие шероховатости и царапины надламывают ворсинки ниток, из-за этого в ...